المقدمة
الرياضيات التطبيقية هي فرع من فروع الرياضيات التي تتعامل مع الأساليب العلمية والعملية كما يتم تطبيقها في مجالات محددة. سيقوم برنامج الماجستير في الرياضيات التطبيقية بإعداد الطلاب لتحليل المشكلات الرياضية في الواقع الملموس، والنظر في الافتراضات العلمية التحليلية، واكتشاف الأنماط، وتطوير الأفكار، وبناء النماذج الرياضية الصحيحة، وتقديم الحلول المنطقية. سيستكشف الطلاب وسائل مختلفة لحل تحديات الحياة الواقعية باستخدام الإحصاء والرياضيات عالية المستوى. من خلال تحليل البيانات وتصور نتائجها وتأكيد اكتشافاتها. سيتخرج الطلاب من البرنامج مع القدرة على التفكير النقدي ومعالجة المشكلات التي تحتاج إلى حل باستخدام البيانات الرياضية.
أهداف البرنامجوتتمثل أهداف البرنامج:
- اكتساب معرفة معمقة في المواضيع المتقدمة في الرياضيات التطبيقية.
- إجراء بحوث ومشاريع متقدمة لخدمة المجتمع.
- اقتراح حلول مبتكرة لمشاكل تطبيقية في العالم الحقيقي باستخدام الخلفية الرياضية.
وصف المساقات
: 1.طرق في تطبيقات المعادلات التفاضلية الجزئية
مدخل الى معادلات النمذجة الرياضية المنبثقة من الحياة الواقعية واشتقاقها (الاهتزاز، الانتشار، التدفقات،...) ؛ المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية وغير الخطية. الفصل بين المتغيرات، دوال جرين، تحويلات فورييه ولابلاس.
2. تحليل عقدي متقدمالدوال التحليلية، نظرية كوشي ونتائجها، تحويلات موبيوس، نظريات التفرد والتوسع، مبدأ المعامل الأقصى، نظرية الرواسب وتطبيقها، الترابط والتقارب في فضاء الدوال التحليلية والمحددة، تطبيقات الأمثلة الأولية، نظرية رسم تطبيق ريمان، الدوال القطع الناقص، استمرارية الدوال التحليلية، ونظرية بيكارد.
3. تطبيقات الجبر الخطي التحويلات الخطية. تغيير الأساس ومصفوفة الانتقال وتشابه المصفوفات. التحويلات الخطية معدومة القوى والمصفوفات. التمثيل القانوني للمصفوفات، صيغ جوردن القانونية. الصيغ الخطية والفضاء الثنائي. الصيغ ثنائية الخطية. الصيغ التربيعية والصيغ الحقيقية والمتماثلة وثنائية الخطية. فضاءات الضرب الداخلي المركبة. المؤثرات الخطية الناظمة. المؤثرات الخطية الواحدية. نظرية الطيف.
4. تحليل حقيقي متقدم القياس الخارجي، المجموعات القابلة للقياس (القيوسة)، الدوال القابلة للقياس، مبرهنة التقارب المرجح (المهيمن)، تمهيدية فاتو، مبرهنة التقارب الرتيب، التقارب في القياس، الاستمرار والتفاضل للدوال الرتيبة، فضاءات لوبيغ، الثنوية، مبرهنة التمثيل لرايس.
5. الأطروحةعلى الطالب إجراء واستكمال موضوع بحث تحت إشراف عضو هيئة تدريسية. يجب أن يزود عمل الأطروحة الطالب بمنظور متعمق لمشكلة بحث معينة في مجال تخصصه المختار. من المتوقع أن يكون الطالب قادرًا على إجراء بحثه بشكل مستقل إلى حد ما تحت إشراف مشرفه. يشترط على الطالب تقديم رسالة نهائية توثق بحثه ويدافع عن عمله أمام لجنة.
6. التحليل الدالي التطبيقيالفضاءات المترية والمعيارية، التقارب والاكتمال، فضاءات باناخ. المؤثرات الخطية، الفضاءات المزدوجة، فضاءات هلبرت والتعامد، نظرية تمثيل ريس، مؤثر هيلبرت المساعد، المؤثرات الذاتية والمتراصة، النظريات الأساسية لفضاءات باناخ بما في ذلك نظرية هان_باناخ، مبدأ المحدودية المنتظم، نظرية المؤثرات المفتوحة ونظرية الرسم البياني المغلق، التقارب القوي والضعيف، نظرية النقطة الثابتة وتطبيقاتها في فضاءات باناخ، الخصائص الأساسية لأطياف المؤثرات الخطية .
7. طرق متقدمة للمعادلات التفاضلية الجزئية
فضاءات سوبولاف على R ، فضاءات سوبولاف على R^n، توطئة لاكس ميلغرام، نظرية هيل يوشيدا، المسائل الخطية الإهليجية، الصياغة الضعيفة، وجود، انتظام، مبدأ الحد الأقصى لمعادلة الانتشار الحراري، معادلة الأمواج.
8. معادلات تفاضلية متقدمة
تعرض هذه المادة تحليلا متقدّما لمنظومات غير خطية، مع التركيز على التفسير الهندسي للمنظومات الديناميكية، ويشمل الإخطاط، وسائل التحكّم للتغذية الارجاعية غير الخطية، اهتمام خاص لتقنية التوسيط والوسائل المقاربة لنظرية الاضطراب، وسائل لتحليل الاستقرار للمنظومات غير الخطية مثل استقرار بوانكاري، طريقة ليابونوف، والاستقرار المنتظم
9. موضوعات مختارة
تم تصميم هذه المقرر لكي يتم التأكد من تغطية المجالات المتخصصة في الرياضيات التطبيقية، والتي لم يتم تناولها في قائمة مقررات برنامج ماجستير الرياضيات التطبيقية.
10. لأمثلة: أسس وتطبيقاتالمجموعات والدوال المحدبة. البرمجة الخطية: الجانب النظري لطريقة سيمبلكس، التقابل و طريقة سيمبلكس المقابلة. البرمجة غير الخطية: مسائل الاستمثال غير المقيدة، الشروط الضرورية والكافية لتحقيق الأمثلية، طريقة البحث الخطي، طريقة الانحدار الحاد، طريقة نيوتن، مسائل الاستمثال مع قيود المساواة أو قيود عدم المساواة، طريقة مضاعفات لاغرانج، شروط ك ك ت الضرورية والكافية لتحقيق الأمثلية، البرمجة المنفصلة، البرمجة التربيعية، طريقة التركيبات الخطية، نظرية اللعبة.
11. مقدمة في تحليل البيانات باستخدام طرق بييزيان
مقدمة في العلوم الإحصائية. عرض وتلخيص البيانات. المنطق، الاحتمالات وعدم اليقين. المتغيرات العشوائية المنفصلة واستدلال بييز لها. المتغيرات العشوائية المتصلة واستدلال بييز لها. مقارنة الإستدلال الإحصائي بطرق بييز والطرق التقليدية لبعض لإحصائات. طرق بييز الحساسة. إستدلال بييز للتوزيع الطبيعي المتعدد ونموذج الانحدار الخطي المتعدد. إحصاءات بييز الحسابية.
12.تحليل الانحدار التطبيقي
الإنحدار الخطي البسيط، تحليل الخطأ، الاستدلال على معلمات النموذج. الانحدار الخطي المتعدد مع وصف النموذج المتعدد الخطي بطريقة المصفوفة. الإستدلال على معلمات النموذج. تحليل الخطأ. طريقة تحليل التباين. بناء النموذج واختيار أفضل متغيرات الانحدار. الإنحدار بوجود متغيرات نوعية. إستخدام الحزم الإحصائية لتحليل مجموعات بيانات حقيقية. حالات دراسية.
13. تحليل المتسلسلات الزمنية التطبيقيالاساليب الإحصائية لتقييم العمليات التي تحدث عبر الزمن. مقدمة في اساليب السلاسل الزمنية وتطبيقاتها في سياقات متعددة (كالدراسات الإكتوارية، علم المناخ، الاقتصاد، التمويل الجغرافيا، الأرصاد الجوية، العلوم السياسية، أدارة المخاطر، وعلم الإجتماع). النظر في تقنيات السلاسل الزمنية واستخدامها بالتنبؤ عندما يكون ذلك مناسبا. إختبار النماذج الخطية بشيء من التفصيل، وامتداد الاختبار ليشمل النماذج غير الخطية. المواضيع ستشمل نماذج حتمية، نماذج السلاسل الزمنية الخطية، النماذج الثابتة، النماذج المتجانسة غير الثابتة، طرق بوكس-جينكنز، النماذج المتداخلة، النماذج غير الخطية، إنحدار السلاسل الزمنية، تجانس السلاسل الزمنية، حالات دراسية. استخدام البرنامج لغة (R) في المساق. التركيز على المفاهيم الاساسية والتطبيقية من خلال طرح أمثلة مختلفة في الوقت المناسب.
14. حلول عددية للمعادلات التفاضلية الخطية
وجود وتفرد الحلول للمعادلات التفاضلية ذات القيمة الأولية و ذات القيمتين الأولية والنهائية، طرق الحل ذات الخطوة الواحدة والمتعددة الخطوات للمعادلات ذات القيمة الأولية والغير متغيرة بشكل مفاجئ وكبير(القاسية)، والتحكم التكيفي في طرق الخطوة الواحدة، وطرق الخطوة الواحدة للمعادلات التفاضلية العادية المتغيرة بشكل كبير ومفاجئ (القاسية)، والطرق متعددة الخطوات للمعادلات ذات القيمة الواحدة وذات القيمتين، تحليل الأخطاء ودراسة استقرار الطرق المذكورة، والبرمجة العددية والتطبيق.
15.حلول عددية للمعادلات التفاضلية الخطية الجزئية
طريقة الفروق المحدودة لمعادلات النقل والموجة والحرارة والبواسون؛ المعادلات التفاضلية الجزئية للقطع الناقص. فضاء سوبوليف, حلول ضعيفة, طريقة العناصر المحدودة
16. النماذج الخطية العامة
مقدمة عن النماذج الخطية العامة المتضمنة متغير استجابة فئوي ومنفصل. مراجعة للنماذج الخطية المتعددة التي تتضمن النماذج اللوغاريتمية، الانحدار اللوجستي لمتغير ثنائي الاستجابة، الانحدار ذو الحدين وانحدار بواسون. النماذج مختلطة التأثير، اختيار النموذج والتحقق منه وكذلك الاستدلال الإحصائي حول معلمات النموذج الكامل والمحدود. لغة (R) والعديد من الحزم الإحصائية المتوفرة للتعامل مع النماذج الخطية العامة.
17. جبر خطي عددي
نتطرق للطرق الحسابية المباشرة والخوارزميات التكرارية لحل الأنظمة الخطية، وندرس قواعد المتجهات والمصفوفات؛ العدد الشرطي المميز؛ مسائل المربعات الصغرى؛ التعامد، تحليل القيم المفردة؛ حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية؛ مرافقات الأنظمة الخطية؛ نحصي عدد العمليات الحسابية للخوارزميات. كل المواضيع تستكمل بمهام البرمجة.
